1

I'm trying to find the bug in this code

\documentclass[a4paper,12pt]{book}
\usepackage{times}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{bbding} % for checkmarks and XSolidBrush in itemize http://ftp.cc.uoc.gr/mirrors/CTAN/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf
\usepackage{color}
\usepackage{graphicx}
\DeclareMathOperator{\arccot}{arccot}
\usepackage[pdftex,pdfauthor={fadf},pdftitle={faa},pdfpagemode={UseOutlines},bookmarks,bookmarksopen,bookmarksnumbered,pdfstartview={FitH},colorlinks,linkcolor={blue},citecolor={blue},urlcolor={red}]{hyperref}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[thmmarks, amsmath, thref]{ntheorem}
\usepackage{cleveref}

\theoremstyle{plain}
\theoremheaderfont{\upshape\bfseries}
\theoremseparator{.}
\theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{prop}{Proposition}[section]
{
\theoremprework{\vskip\dimexpr\topsep+\partopsep\relax\par\ensuremath{\blacktriangleright}\small\vspace*{\dimexpr-\topsep-\baselineskip}\leavevmode}
\theoremindent 2.5em
\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{exercise}[prop]{Exercise}
}

\theoremstyle{nonumberplain}
\theoremheaderfont{\scshape}
\theorembodyfont{\upshape}
\theoremsymbol{\ensuremath{\square}}
\newtheorem{proof}{Proof}


\begin{document}
{

\tableofcontents
\mainmatter

\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}[chapter]
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
\newtheorem{definition}{D\'efinition}[chapter]
\newtheorem{exercise}{Exercice}[chapter]
\newtheorem{example}{Exemple}[chapter]
\newtheorem{remark}{Remarque}[chapter]
\newtheorem{solution}{S}


\setcounter{chapter}{-1}
\chapter{Pr\'erequis}
\begin{flushright}
\small\emph{Mathematics possesses not only truth,\\but supreme beauty,\\such as only the greatest art can show.\\}\textsc{B. Russell}
\end{flushright}\normalsize


\chapter{Fonction r\'eelle d'une variable r\'eelle}
\begin{flushright}
\small\emph{Everyone knows what a curve is.\\until he has studied enough mathematics\\to become confused through the countless\\number of possible exceptions.\\}\textsc{Felix Klein}
\end{flushright}\normalsize
\section{Limites et asymptotes}
Un intervalle ouvert est un intervalle de la forme $]a;b[$ ou $]a;+\infty[$ ou $]-\infty;a[$ ou $\emptyset$ ou $\mathbb{R}=]-\infty;+\infty[$ avec $a,b\in\mathbb{R}$.
\\Un ensemble $E\subset\mathbb{R}$ est dit ouvert s'il est un intervalle ouvert ou une r\'eunion (finie ou infinie) d'intervalles ouverts.
\\Un ensemble $E$ est dit ferm\'e si son compl\'ementaire $\complement_{\mathbb{R}}^E$ est ouvert. Les intervalles ferm\'es sont de la forme $[a;b]$, $]-\infty;a]$, $[a;+\infty[$, $\emptyset$ ou $\mathbb{R}$.
\begin{exercise}
Pr\'eciser si chacun des ensembles suivants est ouvert ou ferm\'e:
\begin{enumerate}
\item $]-1;1[\cup]2;+\infty[$
\item $\{2\}$
\item $[1;4[$
\end{enumerate}
\end{exercise}
Le centre de $]a;b[$ est $\displaystyle\frac{a+b}{2}$ et son rayon est $\displaystyle\frac{b-a}{2}$ ($a\leq b$). Ainsi l'intervalle ouvert de centre $x_0$ et de rayon $r$ est $]x_0-r;x_0+r[$. Un voisinage de $x_0$ est un intervalle ouvert de centre $x_0$ i.e. un intervalle de la forme $]x_0-r;x_0+r[$.
\begin{exercise}
\begin{enumerate}
\item Donner un voisinage de $3$ de rayon $0.01$.
\item Soit $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ tel que $x_1<x_2$. Donner un voisinage $U$ de $x_1$ et un voisinage $V$ de $x_2$ tel que $U\cap V=\emptyset$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
Soit $E\subset\mathbb{R}$. Tout point de $E$ est soit un point d'accumulation de $E$, soit un point isol\'e. On dit que $x\to +\infty$ (respectivement $x\to -\infty$) si $\forall A\in\mathbb{R}$, $x>A$ (resp. $x<A$). $+\infty$ et $-\infty$ sont des symboles et pas des nombres r\'eels. Si $f:~D\longrightarrow\mathbb{R}$, on \'etudie les limites au points d'accumulations de $D$ (en pratique, on s'int\'eresse aux bornes ouvertes de $D$). Les formes ind\'etermn\'ees sont $+\infty-\infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$, $0\cdot\infty$, $0^0$ et $1^{\infty}$. Tout les autres formes sont d\'etermin\'ees.
\begin{proposition}
La limite d'une fonction est unique.
\end{proposition}

\begin{proposition}
Si $f(x)<g(x)$ sur un voisinage de $x_0$ alors $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\leq \lim\limits_{x\to x_0}g(x)$.
\end{proposition}
\begin{itemize}
\item[\XSolidBrush]Si $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=a$ alors $y=a$ est une AH \`a $(C_f)$.
\item[\XSolidBrush]Si $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$ alors $x=a$ est une AV \`a $(C_f)$.
\item[\XSolidBrush]Si $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\infty$ alors on a une possibilit\'e d'avoir une AO $y=ax+b$ avec $\displaystyle a=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}$ et $\displaystyle b=\lim\limits_{x\to \infty}\left[f(x)-ax\right]$.
\begin{itemize}
\item[\Checkmark] Si $a=0$ alors $(C_f)$ a une direction asymptotique horizontale.
\item[\Checkmark] Si $a=\infty$ alors $(C_f)$ a une direction asymptotique verticale.
\item[\Checkmark] Si $a\in\mathbb{R}^*$ et $b\in\mathbb{R}$ alors $(C_f)$ a une asymptote oblique $y=ax+b$.
\item[\Checkmark] Si $a\in\mathbb{R}^*$ et $b=\infty$ alors $(C_f)$ a une direction asymptotique parall\`ele \`a $y=ax$.
\end{itemize}
\item[\XSolidBrush]Si $\displaystyle\lim\limits_{x\to \infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$ alors $y=ax+b$ AO \`a $(C_f)$\footnote{De m\^eme mani\`ere, $(C_g)$ est une courbe asymptote \`a $(C_f)$ si $\lim\limits_{x\to \infty}[f(x)-g(x)]=0$.}.
\end{itemize}
\begin{exercise}
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que la droite d'\'equation $y=2$ est une AH \`a la courbe de $\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x+1}$ en $+\infty$.
\item D\'emontrer que la droite d'\'equation $x=1$ est une AV \`a la courbe de $\displaystyle g(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$.
\item D\'emontrer que la fonction $\displaystyle h(x)=\frac{3x-1}{2+x}$ admet deux asymptotes d'\'equations $x=-2$ et $y=3$.
\item D\'emontrer que la droite d'\'equation $y=2x-1$ est une asymptote \`a $\displaystyle j(x)=\frac{2x^2+x}{x+1}$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
\item D\'eterminer l'AO \`a la courbe de $\displaystyle p(x)=\frac{2x^2+3x-5}{2x+1}$.
\item D\'eterminer les directions asymptotiques de $q(x)=\sqrt{x}$, $r(x)=1-x^2$ et $t(x)=x+\sqrt{x}$.
\end{enumerate}
\end{exercise}



}
\end{document}

The compiler says Package ntheorem error: theorem style plain already defined. How can I fix this?

  • Be sure you have closely read the manual texdoc.net/texmf-dist/doc/latex/ntheorem/ntheorem.pdf as there are many known conflicts and restrictions with a large number of other packages. – R. Schumacher Aug 8 '15 at 20:26
  • 1) remove \usepackage{amsthm} 2) use \begin{prop}...\end{prop} – touhami Aug 8 '15 at 20:26
  • 1
    And remove \newtheorem{exercise}{Exercise}[chapter] as you are redefining an existing item. With this and the removal of \usepackag{amsthm}, recommended in the manual, your code compiles. – R. Schumacher Aug 8 '15 at 20:32
  • 1
    See section 3.2.2 in the documentation for amsthm: you must not have \usepackage{amsthm} along with \usepackage{ntheorem}. – egreg Aug 8 '15 at 20:34
  • @whatever I see an open brace after \begin{document} with the corresponding } before \end{document}. Remove them! They do evil! – egreg Aug 8 '15 at 21:19
1

A little bit of modifications to: remove "Chapter 0", change the proposition identifiers, make the lengthy exercises look better

    \documentclass[a4paper,12pt]{book}

    % -- math packages
    \usepackage{amsmath}
    \usepackage{amssymb}
    \usepackage[thmmarks, amsmath, thref]{ntheorem}

    % -- fonts and related 
    \usepackage[utf8]{inputenc}
    \usepackage[T1]{fontenc}
    \usepackage{fourier}
    \usepackage{color}

    % -- other packages     
    \usepackage{bbding} % for checkmarks and XSolidBrush in itemize 
                        % http://ftp.cc.uoc.gr/mirrors/CTAN/in/symbols    /comprehensive/symbols-a4.pdf
    \usepackage[francais]{babel}
    \usepackage{graphicx}
    \usepackage[pdftex,pdfauthor={fadf},pdftitle={faa},pdfpagemode={UseOutlines},bookmarks,bookmarksopen,
    bookmarksnumbered,pdfstartview={FitH},colorlinks,linkcolor={blue},citecolor={blue},urlcolor={red}]{hyperref}
    \usepackage{cleveref} % declared after hyperref

    % -- declared operators
    \DeclareMathOperator{\arccot}{arccot}


    % -- theorem declarations
    \theoremstyle{plain}
    \theoremheaderfont{\upshape\bfseries}
    \theoremseparator{.}
    \theorembodyfont{\itshape}
    \newtheorem{prop}{Proposition}[section]
    {
    \theoremprework{\vskip\dimexpr\topsep+\partopsep\relax\par\ensuremath{\blacktriangleright}
    \small\vspace*{\dimexpr-\topsep-\baselineskip}\leavevmode}
    \theoremindent 2.5em
    \theorembodyfont{\upshape}
    \newtheorem{exercise}[prop]{Exercise}
    }

    \theoremstyle{nonumberplain}
    \theoremheaderfont{\scshape}
    \theorembodyfont{\upshape}
    \theoremsymbol{\ensuremath{\square}}
    %\newtheorem{proof}{Proof}

    \newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}[chapter]
    \newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
    \newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire}
    \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
    \newtheorem{definition}{D\'efinition}[chapter]
    %\newtheorem{exercise}{Exercice}[chapter]
    \newtheorem{example}{Exemple}[chapter]
    \newtheorem{remark}{Remarque}[chapter]
    \newtheorem{solution}{S}

    % -- end theorem declarations



    \begin{document}

    \tableofcontents
    \mainmatter

    %\setcounter{chapter}{-1} 
    \chapter*{Pr\'erequis}
    \begin{flushright}
    \small\emph{Mathematics possesses not only truth,\\but supreme beauty,\\such as only the greatest art can show.\\}
    \textsc{B. Russell}
    \end{flushright}\normalsize


    \chapter{Fonction r\'eelle d'une variable r\'eelle}
    \begin{flushright}
    \small\emph{Everyone knows what a curve is.\\until he has studied enough mathematics\\to become confused through
    the countless\\number of possible exceptions.\\}\textsc{Felix Klein}
    \end{flushright}\normalsize
    \section{Limites et asymptotes}
    Un intervalle ouvert est un intervalle de la forme $]a;b[$ ou $]a;+\infty[$ ou $]-\infty;a[$ ou $\emptyset$ ou
    $\mathbb{R}=]-\infty;+\infty[$ avec $a,b\in\mathbb{R}$.
    \\Un ensemble $E\subset\mathbb{R}$ est dit ouvert s'il est un intervalle ouvert ou une r\'eunion (finie ou infinie)
    d'intervalles ouverts.
    \\Un ensemble $E$ est dit ferm\'e si son compl\'ementaire $\complement_{\mathbb{R}}^E$ est ouvert. Les intervalles
    ferm\'es sont de la forme $[a;b]$, $]-\infty;a]$, $[a;+\infty[$, $\emptyset$ ou $\mathbb{R}$.
    \begin{exercise}
    Pr\'eciser si chacun des ensembles suivants est ouvert ou ferm\'e:
    \begin{enumerate}
    \item $]-1;1[ \cup ]2;+\infty[$
    \item $\{2\}$
    \item $[1;4[$
    \end{enumerate}
    \end{exercise}
    Le centre de $]a;b[$ est $\displaystyle\frac{a+b}{2}$ et son rayon est $\displaystyle\frac{b-a}{2}$ ($a\leq b$).
    Ainsi l'intervalle ouvert de centre $x_0$ et de rayon $r$ est $]x_0-r;x_0+r[$. Un voisinage de $x_0$ est un
    intervalle ouvert de centre $x_0$ i.e. un intervalle de la forme $]x_0-r;x_0+r[$.
    \begin{exercise} \hfill 
    \begin{enumerate}
    \item Donner un voisinage de $3$ de rayon $0.01$.
    \item Soit $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ tel que $x_1<x_2$. Donner un voisinage $U$ de $x_1$ et un voisinage $V$ de $x_2$
    tel que $U\cap V=\emptyset$.
    \end{enumerate}
    \end{exercise}
    Soit $E\subset\mathbb{R}$. Tout point de $E$ est soit un point d'accumulation de $E$, soit un point isol\'e. On dit
    que $x\to +\infty$ (respectivement $x\to -\infty$) si $\forall A\in\mathbb{R}$, $x>A$ (resp. $x<A$). $+\infty$ et
    $-\infty$ sont des symboles et pas des nombres r\'eels. Si $f:~D\longrightarrow\mathbb{R}$, on \'etudie les limites
    au points d'accumulations de $D$ (en pratique, on s'int\'eresse aux bornes ouvertes de $D$). Les formes
    ind\'etermn\'ees sont $+\infty-\infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$, $0\cdot\infty$, $0^0$ et
    $1^{\infty}$. Tout les autres formes sont d\'etermin\'ees.
    \begin{prop}
    La limite d'une fonction est unique.
    \end{prop}

    \begin{prop}
    Si $f(x)<g(x)$ sur un voisinage de $x_0$ alors $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\leq \lim\limits_{x\to x_0}g(x)$.
    \end{prop}
    \begin{itemize}
    \item[\XSolidBrush]Si $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=a$ alors $y=a$ est une AH \`a $(C_f)$.
    \item[\XSolidBrush]Si $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$ alors $x=a$ est une AV \`a $(C_f)$.
    \item[\XSolidBrush]Si $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\infty$ alors on a une possibilit\'e d'avoir une AO
    $y=ax+b$ avec $\displaystyle a=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}$ et 
    $\displaystyle b=\lim\limits_{x\to \infty}\left[f(x)-ax\right]$.
    \begin{itemize}
    \item[\Checkmark] Si $a=0$ alors $(C_f)$ a une direction asymptotique horizontale.
    \item[\Checkmark] Si $a=\infty$ alors $(C_f)$ a une direction asymptotique verticale.
    \item[\Checkmark] Si $a\in\mathbb{R}^*$ et $b\in\mathbb{R}$ alors $(C_f)$ a une asymptote oblique $y=ax+b$.
    \item[\Checkmark] Si $a\in\mathbb{R}^*$ et $b=\infty$ alors $(C_f)$ a une direction asymptotique parall\`ele \`a $y=ax$.
    \end{itemize}
    \item[\XSolidBrush]Si $\displaystyle\lim\limits_{x\to \infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$ alors 
    $y=ax+b$ AO \`a $(C_f)$\footnote{De m\^eme mani\`ere, $(C_g)$ est une courbe asymptote \`a $(C_f)$ si
    $\lim\limits_{x\to \infty}[f(x)-g(x)]=0$.}.
    \end{itemize}
    \begin{exercise} \hfill 
    \begin{enumerate}
    \item D\'emontrer que la droite d'\'equation $y=2$ est une AH \`a la courbe de $\displaystyle 
    f(x)=\frac{2x+1}{x+1}$ en $+\infty$.
    \item D\'emontrer que la droite d'\'equation $x=1$ est une AV \`a la courbe de $\displaystyle 
    g(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$.
    \item D\'emontrer que la fonction $\displaystyle h(x)=\frac{3x-1}{2+x}$ admet deux asymptotes 
    d'\'equations $x=-2$ et $y=3$.
    \item D\'emontrer que la droite d'\'equation $y=2x-1$ est une asymptote \`a $\displaystyle 
    j(x)=\frac{2x^2+x}{x+1}$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
    \item D\'eterminer l'AO \`a la courbe de $\displaystyle p(x)=\frac{2x^2+3x-5}{2x+1}$.
    \item D\'eterminer les directions asymptotiques de $q(x)=\sqrt{x}$, $r(x)=1-x^2$ et $t(x)=x+\sqrt{x}$.
    \end{enumerate}
    \end{exercise}

    \end{document}
  • 1
    Also remove times that's overwritten by fourier. Also the order of the packages should be modified: ntheorem should definitely go before hyperref as well as inputenc, and fontenc. I usually have fontenc, inputenc and babel as the first group of packages. Finally, the pdftex option should not be specified for hyperref. – egreg Aug 8 '15 at 21:17
  • The theorem declaration should go before \begin{document} – egreg Aug 8 '15 at 21:20
4

You have planted several bugs in your document. The most important one is that you shouldn't load both amsthm and ntheorem (see section 3.2.2 in the manual of ntheorem). Since you're using the syntax of the latter, remove \usepackage{amsthm}

You have other minor or less minor bugs, though.

  1. \usepackage{times} is overridden by \usepackage{fourier}

  2. ntheorem should be loaded before hyperref

  3. The same is true for most packages (except cleveref, in this document). I usually recommend fontenc, inputenc and babel as the first group of packages.

  4. The pdftex option should not be specified for hyperref.

  5. The open brace { after \begin{document} and the matching } before \end{document} are wrong and must be removed (you risk memory overflow with them).

  6. Theorems should be declared before \begin{document}.

Here's an edited version.

\documentclass[a4paper,12pt]{book}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\usepackage{bbding} % for checkmarks and XSolidBrush in itemize http://ftp.cc.uoc.gr/mirrors/CTAN/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf
\usepackage{color}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fourier}
\usepackage[thmmarks, amsmath, thref]{ntheorem}
\usepackage[
  pdfauthor={fadf},
  pdftitle={faa},
  pdfpagemode={UseOutlines},
  bookmarks,
  bookmarksopen,
  bookmarksnumbered,
  pdfstartview={FitH},
  colorlinks,
  linkcolor={blue},
  citecolor={blue},
  urlcolor={red}
]{hyperref}
\usepackage{cleveref}

\theoremstyle{plain}
\theoremheaderfont{\upshape\bfseries}
\theoremseparator{.}
\theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{prop}{Proposition}[section]{%

{
  \theoremprework{%
    \vskip\dimexpr\topsep+\partopsep\relax\par
    \ensuremath{\blacktriangleright}%
    \small\vspace*{\dimexpr-\topsep-\baselineskip}\leavevmode
  }%
  \setlength{\theoremindent}{2.5em}
  \theorembodyfont{\upshape}
  \newtheorem{exercise}[prop]{Exercise}
}

\theoremstyle{nonumberplain}
\theoremheaderfont{\scshape}
\theorembodyfont{\upshape}
\theoremsymbol{\ensuremath{\square}}

\newtheorem{proof}{Proof}
\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}[chapter]
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
\newtheorem{definition}{D\'efinition}[chapter]
\newtheorem{exercise}{Exercice}[chapter]
\newtheorem{example}{Exemple}[chapter]
\newtheorem{remark}{Remarque}[chapter]
\newtheorem{solution}{S}


\DeclareMathOperator{\arccot}{arccot}

\begin{document}

\tableofcontents
\mainmatter

[...]

\end{document}
  • you didn't remove \newtheorem{exercise}{Exercice}[chapter] and theorem, proposition, corollary... are proof like style – touhami Aug 8 '15 at 22:57
4

Here is a debugged code. The main problem was you loaded both amsthm and ntheorem. I removed amsthm, because I know better ntheorem, it's easier to customise, and it can place automatically the end-of-proof symbol, even when the proof ends up in a displayed equation.

hyperef should beloaded before the first theorem declaration.

I took the liberty to replace amsmath by mathtools (a very useful extension of amsmath) and to load enumitem, which I used to improve the enumerate and itemize environments displaying. I thought it was better ti use an unnumbered chapter for the prerequisites rather than a ‘number 0’ chapter, but you may change that easily. Finally, I replaced \emptyset by the better-looking \varnothing, and corrected a few typos. May I suggest that i.e. is an anglicism and should be replaced with c.-à-d.? Last comment: using UTF8 encoding, you can type accented letters directly from the keyboard.

\documentclass[a4paper, french, 12pt]{book}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{bbding} % for checkmarks and XSolidBrush in itemize http://ftp.cc.uoc.gr/mirrors/CTAN/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf
\usepackage{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{relsize}
\DeclareMathOperator{\arccot}{arccot}
\usepackage{newtxtext, newtxmath}
\usepackage[thmmarks, amsmath, thref, hyperref]{ntheorem}
\usepackage[pdftex, pdfauthor={fadf}, pdftitle={faa}, pdfpagemode={UseOutlines}, bookmarks, bookmarksopen, bookmarksnumbered, pdfstartview={FitH}, colorlinks, linkcolor={blue}, citecolor={blue}, urlcolor={red}]{hyperref}
\usepackage{cleveref}
%% Theorems declarations
\theoremstyle{plain}
\theoremheaderfont{\upshape\bfseries}
\theoremseparator{.}
\theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{theorem}{Théorème}[chapter]
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{definition}{Définition}[chapter]
\newtheorem{example}{Exemple}[chapter]
\newtheorem{remark}{Remarque}[chapter]

\theoremprework{\vskip\dimexpr\topsep+\partopsep\relax\par\ensuremath{\blacktriangleright}\small\vspace*{\dimexpr-\topsep-\baselineskip}\leavevmode}
\theoremindent 2.5em
\newtheorem{exercise}{Exercise}[chapter]
\theoremprework{}
\theoremstyle{nonumberplain}
\theoremsymbol{\ensuremath{\square}}
\newtheorem{solution}{S}
\theoremindent 0em
\theoremheaderfont{\scshape}
\theoremsymbol{\ensuremath{\square}}
\newtheorem{proof}{Proof}

\begin{document}
{

  \tableofcontents
  \mainmatter


  %\setcounter{chapter}{-1}
  \chapter*{Prérequis}
  \begin{flushright}
    \small\emph{Mathematics possesses not only truth,\\but supreme beauty,\\such as only the greatest art can show.\\}\textsc{B. Russell}
    \end{flushright}


    \chapter{Fonction réelle d'une variable réelle}
    \begin{flushright}
      \small\emph{Everyone knows what a curve is.\\until he has studied enough mathematics\\to become confused through the countless\\number of possible exceptions.\\}\textsc{Felix Klein}
      \end{flushright}\normalsize

      \section{Limites et asymptotes}

      Un intervalle ouvert est un intervalle de la forme $]a;b[$ ou $]a;+∞[$ ou $]-∞;a[$ ou $\emptyset$ ou $\mathbb{R}=]{-∞};+∞[$ avec $a,b ∈ \mathbb{R}$.

      Un ensemble $E ⊂ \mathbb{R}$ est dit ouvert s'il est un intervalle ouvert ou une réunion (finie ou infinie) d'intervalles ouverts.

      Un ensemble $E$ est dit fermé si son complémentaire $∁_{\mathbb{R}}^E$ est ouvert. Les intervalles fermés sont de la forme $[a;b]$, $]-∞;a]$, $[a;+∞[$, $∅$ ou $\mathbb{R}$.
      \begin{exercise}
        Préciser si chacun des ensembles suivants est ouvert ou fermé:
        \begin{enumerate}[wide=0pt]
          \item $]-1;1[ ∪ ]2;+∞[$
          \item $\{\mkern1.5mu 2 \mkern1.5mu\}$
          \item $[1;4[$
          \end{enumerate}
        \end{exercise}
        Le centre de $]a;b[$ est $\dfrac{a + b}{2} $ et son rayon est $\dfrac{b-a}{2}$ ($a\leq b$). Ainsi l'intervalle ouvert de centre $x₀$ et de rayon $r$ est $]x₀-r;x₀+r[$. Un voisinage de $x₀$ est un intervalle ouvert de centre $x₀$ i.e. un intervalle de la forme $]x₀-r;x₀+r[$.
        \begin{exercise}
          \begin{enumerate}[wide=0pt]
            \item Donner un voisinage de $3$ de rayon $0{,}01$.
            \item Soit $x₁,x₂ ∈ \mathbb{R}$ tel que $x₁<x₂$. Donner un voisinage $U$ de $x₁$ et un voisinage $V$ de $x₂$ tel que $U ∩ V=∅$.
          \end{enumerate}
        \end{exercise}
        Soit $E ⊂ \mathbb{R}$. Tout point de $E$ est soit un point d'accumulation de $E$, soit un point isolé. On dit que $x\to +∞$ (respectivement $x\to -∞$) si $∀ A ∈ \mathbb{R}$, $x>A$ (resp. $x<A$). $+∞$ et $-∞$ sont des symboles et pas des nombres réels. Si $f:~D ―――→ \mathbb{R}$, on étudie les limites au points d'accumulations de $D$ (en pratique, on s'intéresse aux bornes ouvertes de $D$). Les formes indéterminées sont $+∞-∞$, $\frac{∞}{∞}$, $\frac{0}{0}$, $0 · \infty$, $0⁰$ et $1^{∞}$. Toutes les autres formes sont déterminées.
        \begin{proposition}
          La limite d'une fonction est unique.
        \end{proposition}

        \begin{proposition}
          Si $f(x)<g(x)$ sur un voisinage de $x₀$ alors $\lim\limits_{x\to x₀}f(x)\leq \lim\limits_{x\to x₀}g(x)$.
        \end{proposition}
        \begin{itemize}[label=\XSolidBrush]
          \item Si $\lim\limits_{x\to ∞}f(x)=a$ alors $y=a$ est une AH à $(C_f)$.
          \item Si $\lim\limits_{x\to x₀}f(x)=∞$ alors $x=a$ est une AV à $(C_f)$.
          \item Si $\lim\limits_{x\to ∞}f(x)=∞$ alors on a une possibilité d'avoir une AO $y=ax+b$ avec $\displaystyle a=\lim\limits_{x\to ∞}\frac{f(x)}{x}$ et $\displaystyle b=\lim\limits_{x\to ∞}\left[f(x)-ax\right]$.
                \begin{itemize}[label=\Checkmark, wide=0pt]
                  \item Si $a=0$ alors $(C_f)$ a une direction asymptotique horizontale.
                  \item Si $a=∞$ alors $(C_f)$ a une direction asymptotique verticale.
                  \item Si $a ∈ \mathbb{R}^*$ et $b ∈ \mathbb{R}$ alors $(C_f)$ a une asymptote oblique $y=ax+b$.
                  \item Si $a ∈ \mathbb{R}^*$ et $b=∞$ alors $(C_f)$ a une direction asymptotique parallèle à $y=ax$.
                \end{itemize}
          \item Si $\displaystyle\lim\limits_{x\to ∞}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$ alors $y=ax+b$ AO à $(C_f)$\footnote{De m\^eme manière, $(C_g)$ est une courbe asymptote à $(C_f)$ si $\lim\limits_{x\to ∞}[f(x)-g(x)]=0$.}.
        \end{itemize}
        \begin{exercise}
          \begin{enumerate}[wide=0pt]
            \item Démontrer que la droite d'équation $y=2$ est une AH à la courbe de $\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x+1}$ en $+∞$.
            \item Démontrer que la droite d'équation $x=1$ est une AV à la courbe de $\displaystyle g(x)=\frac{x²+1}{x²-1}$.
            \item Démontrer que la fonction $\displaystyle h(x)=\frac{3x-1}{2+x}$ admet deux asymptotes d'équations $x=-2$ et $y=3$.
            \item Démontrer que la droite d'équation $y=2x-1$ est une asymptote à $\displaystyle j(x)=\frac{2x²+x}{x+1}$ en $+∞$ et en $-∞$.
            \item Déterminer l'AO à la courbe de $\displaystyle p(x)=\frac{2x²+3x-5}{2x+1}$.
            \item Déterminer les directions asymptotiques de $q(x)=√{x}$, $r(x)=1-x²$ et $t(x)=x+√{x}$.
          \end{enumerate}
        \end{exercise}
      }

\end{document}

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  • Please include the corresponding code, for completeness. – Matemáticos Chibchas Apr 29 '18 at 0:59
  • @MatemáticosChibchas: It seems I forgot to post the code, and you're the first to point it! Fortunately, it was not deleted from my computer, so I could fix it. Thanks! – Bernard Apr 29 '18 at 1:22

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